1　引　言

　　随着光学加工与检测技术的不断进步,几何焦点无像差的二次非球面在大口径光学系统的研制中极受关注,而离轴二次非球面因具有简化光学系统、提高系统的成像质量、减小仪器的尺寸和重量并可避免光学系统遮拦等特点而在天文仪器和空间光学系统中得到了广泛的应用[1]。抛物面反射镜作为二次非球面的一种,因具有产生独特的无像差平行光束的光学性质,经常被用作光学基本定标工具平行光管。离轴抛物面镜因能以简单的面形产生高质量的无中心遮拦的平行光束比其它形式的平行光管更具优势而使用更为广泛。离轴非球面的缺点是加工比较困难,当然因为它不是旋转对称曲面,其应用场合也有所限制。离轴抛物面镜的设计相对简单,主要根据使用要求决定口径、离轴量、离轴角、焦距等几何关系,也可以根据需要计算可用视场的大小。离轴非曲面在加工阶段和后期的装调阶段都需要进行光学检测。在加工阶段,一般采用非在线检测,而且加工状态与检测状态不同,每次检测时都需要对检测光路进行细微的调整,因此,不同程度地存在着一定的调整误差。在后期的装调阶段,需要对光学元件进行检测,以验证其是否达到设计要求。由于机械支撑、应力变形以及环境因素的不同都会对镜面的面形造成影响,使其不能够完全复原为加工完成时的检测状态,故这一阶段也存在调整误差[2-4]。因此,掌握离轴非球面镜调整误差对镜面误差的影响非常重要。

　　本文以加工检测一个圆形离轴抛物面镜为例,建立了离轴抛物面检测过程中存在调整失调量对波前畸变影响的物理模型及数学模型,并分析了各偏差对检测结果的影响,该分析得到的相应结论对于离轴非球面镜的加工、检测与装调具有一定的指导意义。

　　2　离轴抛物镜检测

　　2.1　离轴抛物面的几何模型及参数

　　同轴的二次曲面表达式可写为:

　　轴对称抛物面面形只要给出通光口径及焦距或顶点曲率半径就完全确定了,而离轴抛物面则需要给出通光口径、离轴量、离轴角或轴上焦距等参数,如图1所示。图中B为离轴抛物面镜的中心,b为B点到原光轴的距离,即离轴量,F为焦点,2φ为离轴角,f′为母抛物面的焦距,a为B点的矢高,D为口径,这些量中,b,φ及f′不是完全独立的,它们之间的关系为[5]:

　　2.2　离轴抛物面镜的检测光路及调整参数

　　抛物面反射镜具有独特的无像差平行光束的光学性质,对其进行面形检测时采用自准直检验,检测光路如图2所示。

　　对一个圆形离轴非球面镜进行检测时,所需的调整共有相互独立的6个自由度,但其调整的位置偏差是成对出现并相互关联的,主要包括俯仰与高低、偏摆与离轴量及绕其子光轴旋转3组失调参数。由于各参数与理论参数在一定的偏差,将使检测结果中包含由失调量引起的波前畸变,只有明确地认识这些波前畸变产生原因,才可以获得真实准确的镜面面形误差。本文对以上提到的3种调整误差对波前畸变的影响进行了分析。

　　2.2.1　俯仰和高低误差

　　当离轴抛物面镜处于理想的检测位置时,其沿Y方向的投影所在的坐标系为ZOX,如图3所示。调整俯仰与高低误差时,镜面位置可以看作是由理想位置绕Y轴旋转θ角(顺时针旋转为负角度,逆时针为正角度),再分别沿Z,X轴分别进行平移,得到新的坐标系Z′O′X′,其中心点O′坐标为(Δz,Δx),此时获得的镜面位置与在理想位置检测时具有相同的焦点,将此时的镜面位置转换到坐标系ZOX并计算出这个位置所产生的波前畸变就可以得到由俯仰与高低误差得到的波前畸变。

　　在坐标系ZOX中,离轴非球面的曲线方程可以表示为:

　　在坐标系Z′O′X′中,离轴非球面的曲线方程可以表示为:

　　为了计算由调整误差产生的波前畸变,必须将两个位置的曲面方程转换到一个坐标系下,通过一定的几何关系可以计算出转换方程可表示为:

　　在此转换方程中,θ为给定的转换参量,而Δx,Δz为未知的转换参量,转化成由坐标系X′Y′Z′到坐标系XYZ的转换方程为:

　　这样,就可以通过上面的转换方程推导出在同一坐标系下的两曲面的方程,由此可计算出由调整误差所带来的波前畸变。

　　2.2.2　偏摆与离轴量误差

　　当离轴抛物面镜处于理想的检测位置时,其沿X方向的投影所在的坐标系为ZOY,如图4所示。当镜面位置存在偏摆与离轴量误差时,镜面位置可以看作是由理想位置绕母光轴旋转θ角,再分别沿Z,Y轴分别进行平移,得到新的坐标系Z′O′Y′,其中心点O′坐标为(Δz,Δy),此时获得的镜面位置与在理想位置检测时亦具有相同的焦点,将此时的镜面位置转换到坐标系ZOY并计算出这个位置所产生的波前畸变就可以得到由偏摆与离轴量误差得到的波前畸变。

　　为了计算由调整误差产生的波前畸变,必须将两个位置的曲面方程转换到一个坐标系下,利用下面的公式对坐标系进行平移和旋转,转换方程为:

　　同理,也可以得出曲面从坐标系X′Y′Z′到坐标系XYZ的坐标转换方程:

　　2.2.3　绕子光轴旋转误差

　　当离轴抛物镜处于理想的检测位置时,其沿Z方向的投影所在的坐标系为YOX,如图5(a)所示。若非球面的调整存在绕子光轴旋转误差时,镜面位置可以看作是由理想位置绕子光轴中心O″旋转θ角,得到新的坐标系Y′O′X′。为了使两次检测位置具有相同的焦点位置,则还需曲面在Z′O′X′面内绕Y′轴旋转θ1角,然后在Z′O″Y″面内绕X″轴旋转θ2角,这样就使得调整前后的曲面具有相同的焦点位置,从而可以计算此误差位置对波前畸变的影响。

　　为了计算由调整误差产生的波前畸变,必须将两个位置的曲面方程转换到一个坐标系下,曲面绕子光轴旋转的转换方程如下:

　　曲面在X′Y′Z′坐标系中绕Y′轴旋转θ1角后的坐标转换方程为:

　　曲面在X″Y″Z″坐标系中绕X″轴旋转θ2角后的坐标转换方程为:

　　再将(10)代如方程(13)中,就可以得到最终的由坐标系X Y Z 到坐标系XYZ的坐标转换方程。

　　2.3　波前畸变的评价

　　评价一个光学元件的好坏有很多指标,其中用于直接测量光学元件的物理表面或波前形状的均方根值(RMS)是光学表面的一个重要指标。均方根值(RMS)的计算方法可以由下式得出:

　　在实际检测或者计算中用于计算RMS面形数据的是离散点的集合,因此,可以利用下面的公式计算RMS[6-7]:

　　式中N为采样点数,xi为面形的高度数据。为了计算出调整误差引起的波前畸变,设定处于理想位置的离轴抛物面镜的波前畸变为零,当存在调整误差时,用此时的波面畸变代表由此误差产生的波前畸变。在同一坐标系下,设理想位置时的波面为z,带调整误差的波面为z′,则每一点的面形高度差为Δz=z′-z,由此产生的波前畸变用RMS可以表示为:

　　3　计算机仿真及实验分析

　　为了验证物理模型的正确性及各调整参量对波前畸变的影响,应用matlab模拟生成的离轴抛物面镜进行仿真实验,并加入一定的镜面位置调整误差,对此产生的波前畸变进行了仿真分析。对于非球面的检验,最常用的方法是干涉检验。在干涉检验中,为了能够探测到非球面的面形误差,其非球面的位置应处在检测光路中使该检测光路产生最小波前畸变的位置。当非球面的某一参量产生固定误差时,应调整其它的参量使非球面检测能够进入干涉域,此时产生的波像差也是存在该调整误差时的最小波前畸变。根据这个波像差最小理论,在给定某一调整误差数值时,可以应用matlab软件以波像差最小为目标函数进行优化求解,从而确定其它的调整量,最终确定此调整误差所产生的波前畸变以及波前误差分布形态。仿真中应用的优化函数可以由下式表示:

　　min rms(Δx,Δy,Δz,θx,θy,θz) , (17)

　　其中,Δx,Δy,Δz是失调后的中心坐标,θx,θy,θz分别为绕x,y,z轴旋转的角度。

　　当给定某一调整参数时,应用迭代的方法优化求解最小的目标函数,从而确定其它变量的值来确定各参数的失调量。应用matlab仿真程序,对半径R=10 000mm,k=-1、口径D=500 mm,离轴量b=425mm的离轴抛物面数据进行了仿真分析。

　　3.1　俯仰和高低误差仿真分析

　　在仿真分析中,设定离轴抛物镜在坐标系XYZ中绕轴逆时针旋转产生θ=0.1°的俯仰误差,应用仿真程序进行分析,可以得到其相应的坐标轴平移量分别为Δx=-17.472 mm和Δz=0.016 mm,波前畸变的RMS=0.152λ(λ=633nm),其产生的波前畸变误差分布如图6所示。从分析中可以得出:当离轴抛物镜绕轴逆时针旋转产生倾斜误差时,波面将产生包含45°的马鞍形像散误差(角度按ZYGO干涉仪坐标标准)和上下方向的彗差。

　　3.2　偏摆与离轴量误差仿真分析

　　当离轴抛物镜在调整过程中绕轴逆时针旋转产生θ=0.1°的偏摆误差时,应用matlab仿真程序进行波像差分析,可以得到其相应的坐标轴平移量分别为Δy=-17.506 mm和Δz=0.014mm,波前畸变的RMS=0.265λ(λ=633 nm),其产生的波前畸变误差分布如图7所示。

　　表1给出几组仿真的参数及结果,从分析中可以得出:当离轴抛物镜在XYZ坐标系中绕轴逆时针旋转产生偏摆误差时,非球面的离轴角变大,离轴量变小,产生90°的椭圆像散误差(角度按ZYGO干涉仪坐标标准);顺时针旋转时,离轴角变小,离轴量变大,产生0°的像散误差。

　　同时,由偏摆误差产生的像散误差与离轴量大小有关,离轴量越大,像散误差对旋转角度越敏感,即旋转角度相同时,离轴量越大,像散量越大,反之亦然。

　　3.3　绕子光轴旋转误差仿真分析

　　若离轴抛物镜在坐标系XYZ中绕子光轴逆时针旋转产生θ=1°的角度误差,应用matlab仿真程序进行分析,可以得到其相应的坐标轴偏转角度分别为θ1= 0. 000 740 862 rad和θ2=-0.000 006 442 05 rad,所产生的波前畸变的RMS=0.065λ(λ=633 nm),其波前畸变误差分布如图8所示。

　　从分析中可以得出:当离轴抛物镜在YOX平面内绕子光轴旋转产生角度误差时,将产生一定的像散误差和彗差。

　　通过以上的仿真分析可知:当检测中存在多种调整误差时,在波前误差的形态上表现为像散和彗差,文中的第1对和第3对误差都可产生像散和彗差,存在着一定的耦合现象。但是,以上分析的内容主要是对工程中的装调进行指导,在实际的非球面装调中,首先对出现的彗差进行调整,然后对产生的像散误差进行调整,从而得到理想位置的非球面,而且位置唯一,大量的工程实验表明该方法是正确的,且行之有效的。

　　在光学元件装调时,其面形误差与位置偏差所引起的波前畸变是混合在一起的,但是由位置偏差引起的波前畸变其分布形态是比光学元件的面形误差本身空间频率更低的误差,而且误差值也更大些,因此,与加工的最后检测结果相比对,可以很容易从装调的检测结果中分辨出调整误差。

　　为了验证物理模型及仿真结果的正确性,在应用多模式组合加工技术[8]对该离轴抛物镜加工的过程中,对调整误差对测量结果的影响进行了验证实验。图9所示为对离轴抛物镜进行偏摆和离轴量的调整时产生波前畸变前后的抛物镜面形检测结果,图9中(a)为理想位置的检测结果,(b)为在(a)图离轴抛物镜所在的位置的基础上,在抛物面所在的坐标系绕轴逆时针旋转并进行相应的调整所得到的检测结果。从检测结果可以看出,由于存在偏摆和离轴量误差,检测结果中包含了椭圆形的像散误差,该实验结果与理论分析所得到的结论相一致,从而验证了理论模型以及仿真分析的正确性。

　　4　结　论

　　本文分析了离轴抛物镜检测中调整误差对波前畸变的影响,以离轴抛物面镜检测为例,建立了检测中存在调整误差时非球面位置的物理模型及数学模型,应用matlab仿真软件分析了各模型中存在的调整误差对检测结果的影响。实验证明,所建立的物理模型及计算机仿真结果正确,该分析得到的相应结论对离轴抛物镜的加工、检测和装调具有指导意义,也为下一步的系统装调指明了方向。该方法不仅适用于分析离轴抛物镜装调误差对波前畸变的影响,而且也适用于所有的离轴非球面的调整误差分析。

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　　作者简介:

　　李俊峰(1980-),男,吉林长春人,2005年于长春理工大学获得学士学位,2010年于中国科学院长春光学精密机械与物理研究所获得博士学位,主要从事大口径非球面多模式组合加工技术的研究。E-mail:ljf220@sohu、com

　　宋淑梅(1963-),女,吉林吉林人,研究员,硕士生导师,主要从事大口径非球面先进加工与检测技术方面的研究。E-mail:smsong@ciomp、ac、cn