直接函数运算法属于最小偏差法的一种。它与逐点比较法类似，是一种代数运算方法。但它的进给方式不像逐点比较法那样或x方向或y方向急剧变化，这对机械部分是有利的，特别是可以改善步进电机的谐振现象。另外，直接函数法可以比较并选择误差较小的一个进给方向，这也是它的一个优点。因为直接函数法每插补一步要试算两个方向并作比较。

图2-36 比较积分法直线插补轨迹

 1.直线插补

（1） 卦限的划分。直接函数法将直角坐标的每个象限都用45°斜线分成2个区域，如图2-36所示。图2-36卦限的划分4个象限共分为8个区域，称为8个卦限，用0～7表示。对某一卦限内的直线进行插补时，只有u和u，v两种可能的进给方向。对于第Ⅰ象限的右下区域即“0”卦限来讲，直线插补时或是x方向走一步，或是x与y方向同时走一步。对于“1”卦限的直线插补，或是y方向走一步，或是x与y方向同时走一步。引入u和v坐标系的目的是将8个卦限的进给都统一用“0”卦限内的u和v坐标来计算，以简化插补程序，缩短运算时间。对8个卦限中的直线，这种坐标变换关系如表2－9所示。

表2-9     直线插补的坐标变换

图2－37  “0”卦限的直线

（2） 误差函数与进给方向。图2－37中所示“0”卦限的直线终点为u_e和v_e，直线方程为

引入误差函数，显然，对于直线上的所有点均满足下式：

图2－38 “0”卦限的直线插补轨迹

为了减小插补误差，实际的DFB法还可以进一步对两个可能的进给方向作试算与比较，并选择一个误差最小的方向进给。

若往u方向进给一步，误差函数将为

将式（2-44）和式（2-45）分别代入上两式中，可得到两个试算结果，将它们的绝对值进行比较，以决定应向哪个方向进给。

图2-39 第Ⅰ象限圆弧

图2-40 圆弧插补各卦限的进给方向

为了使进给方向每次最多改变45°，仍旧划分0～7共8个卦限，将各卦限内的圆弧插补，都统一用“0”卦限的公式进行计算。每个卦限中又都有顺时针圆弧和逆时针圆弧两种情况，8个卦限中顺圆与逆圆的进给方向标在图2-40中，均用v和u，v代表。它们在xoy坐标系中的实际进给方向可根据卦限及圆弧走向用表2-10进行变换。显然，当每次插补运算时，除判断是否到达终点外，还要判断是否到达卦限的边界。如图2-39中第Ⅰ象限的逆圆在“0”卦限限时，它是沿+y向或-x和+y向进给的，到达“1”卦限的边界后，应改为沿-x向或-x和+y向进给。

表2-10     直线插补时进给方向的坐标变换

以上各种情况下的实际进给方向，可参照表2-10得到。误差函数计算统一使用“0”卦限中推导的公式（2-47）、（2-48）（逆时针圆弧）或（2-49）、（2-50）（顺时针圆弧）。为此，要统一变换为u和v坐标，且u和v坐标的走向与实际进给方向的关系要与图2-40中“0”卦限情况一样。

除根据误差函数、卦限及圆弧走向判断本次应进给的方向外，插补运算还包括下列步骤：

（1） 计算△F（i+1）；
（2） 修正并得到新的坐标值u（i+1）和v（i+1）；
（3） 存入应进给方向的符号；
（4） 计算误差函数F（i+1）；
（5） 检查进给后是否到达卦限的边界；
（6） 检查进给后是否到达预定圆弧的终点。

除了直线插补与圆弧插补外，DFB法还可以推广到用方程

描述的一般二次曲线。但由于在计算误差函数时，要与各系数作乘法运算，将使插补运算的速度显著变慢。在这种情况下，只好损失一些进给速度，而对于像抛物线这种二次曲线的特例，用直接函数法进行插补运算的速度则与圆弧插补时相当。此外，DFB法也可以推广到极坐标。这时，阿基米德螺旋线的插补可以归并为直线插补。

以上介绍了常用的几种基准脉冲插补法和数据采样插补法。在实际使用中还会见到上述一些插补算法的变形算法或扩展算法，如最小偏差法、单步追赶法、方向余弦法等等。读者需要时可参阅有关文献资料。